Problemi indecidibili

Dimostrare che un problema non ha soluzione come la "quadratura del cerchio" può sembrare una sconfitta, ma per la matematica non lo è affatto. Averlo dimostrato significa infatti non dover più sprecare tempo ed energie per inseguire un sogno irrealizzabile.
Che dire allora dei problemi "indecidibili" ? Si tratta di problemi la cui risposta non è ne affermativa e nemmeno negativa. Il tentativo di trovare una soluzione razionale, porta a paradossi oppure all'impossibilità di trovare una risposta definitiva, di qualunque natura. In sostanza un problema indecidibile non ha risposta.
La cosa sorprendente è che non avere risposta non significa necessariamente che la domanda è stata posta in modo ambiguo o è scorretta.
Un esempio molto bello a mio parere che illustra il concetto è il seguente problemino:
E' noto che i giochi di qualsiasi specie si possono suddividere in due famiglie: i giochi FINITI, sono quelli le cui regole garantiscono che prima o poi il gioco terminerà. Ad esempio il "gioco dell'oca" ha tra le sue regole lo spostamento del contrassegno dei giocatori, in base al risultato di un dado. Poichè il dado tra i suoi risultati non ha lo zero, e suupponendo che non esistano sul percorso caselle che fanno tornare indietro, allora prima o poi il gioco terminerà nel senso che uno dei giocatori arriverà al traguardo per primo.
Al contrario il gioco degli scacchi, supponendo di non adottare alcuna regola che limiti il numero di mosse massimo che è possibile fare senza spostare pedoni o mangiare pezzi, in teoria potrebbe non far terminare mai una partita. Due giocatori particolarmente pedanti potrebbe ripetere all'infinito la stessa sequenza di mosse senza arrivare mai ad alcun risultato definitivo. Chiameremo questa categoria di giochi INFINITI.
In sostanza le regole di un gioco appartenenti a questa categoria non garantiscono con certezza che la partita finirà. Particolari scelte dei giocatori potrebbero portare ad una durata eterna della partita.
Non sembra che ci siano problemi o ambiguità per decidere in quali delle due categorie, appartiene un qualsiasi gioco. Si tratta solo di analizzare se le regole garantiscono la terminazione della partita in ogni caso oppure no.
Un giorno però due buontemponi (sembra si sia trattato di due divinità pagane provenienti dall'Olimpo) decidono di inventare il metagioco.
Le regole sono le seguenti: il primo dei due giocatori sceglie un qualiasi gioco dalla categoria dei giochi FINITI, il secondo effettua la prima mossa. Successivamente la partita continua seguendo le regole del gioco scelto.
La domanda è: Il metagioco a quale categoria appartiene, quella dei giochi FINITI o a quella dei gioco INFINITI ?
La domanda è ben posta, non ambigua come la descrizione delle premesse.
Ma una risposta non può essere razionalmente data. Ogni tentativo di rispondere in un senso o in un altro porta a delle contraddizioni.
Provate !